• Type de poste : post-doctorant.
• Durée : 1 an.
• Début : à partir du 1 er septembre 2006.
• Lieu de travail : Laboratoire de Probabilités & Modèles Aléatoires, UPMC - Université Pierre et Marie Curie - Paris 6.
• Thème de recherche : probabilités numériques
• Financement : ANR-05-CIGC-007
• Rémunération : 2000 euros net.
• Contact : Gilles PAGÈS, courriel.

Le stage post-doctoral se déroulera au sein de l’équipe « Probabilités Numériques  et Finance » du Laboratoire de Probabilités & Modèles Aléatoires commun aux Universités Paris 6 et Paris 7. (voir : http://www.proba.jussieu.fr/equipe/PNMF/). Concernant les aspects relatifs à la quantification optimale présents dans ce projet, on pourra consulter le site dédié http://www.quantification.finance-mathematique.com/ qui propose une introduction au sujet et diverses publications récentes, certaines d ’ entre elles en rapport direct avec les problématiques du stage.


Le développement de produits dérivés de type américain sur multi-sous-jacents, des options swing sur les marchés de l’énergie et plus généralement des questions de gestion de portefeuille ont fait émerger de façon notable la question de la résolution numérique de problèmes non linéaires de dimension supérieure. Le programme de recherche dans le cadre de l’ANR-05_CIGC-007 est de reconsidérer ces problèmes sous l’angle d’une parallélisation efficace – éventuellement partielle - des algorithmes de résolution. A cette fin, on s’intéressera à divers problèmes-test, notamment la valorisation d’options américaines sur multi-sous-jacents, en réexaminant les algorithmes existants sous l’angle de leur parallélisation et envisageant la conception de procédures prioritairement fondées sur la parallélisation i.e. dont la vitesse est (ou n’est) optimale (que) dans une mis en œuvre parallélisée.


Dans le cadre du post-doctorat , les missions seront multiples :

- Parallélisation d’algorithmes existants : L’objectif initial du stage sera d’explorer les possibilités et les perspectives de parallélisation offertes par des algorithmes usuels de valorisation d’options comme l’algorithme de régression dit de « Longstaff-Schwartz », les arbres de quantification optimale (ou aléatoire), etc. Quel degré de parallélisation peut-on atteindre pour quel gain ? La parallélisation de ces algorithmes de programmation dynamique rétrograde fondés pour la valorisation d’options américaine porte essentiellement sur les calculs locaux à chaque pas de temps (parallélisation des calculs en chaque point) avec un gain observé qui croît linéairement avec le nombre de processeurs.

- Conception de nouveaux algorithmes : Diverses approches à caractère dual peuvent laisser espérer une parallélisation plus globale du calcul, au moins dans certaines phases en y introduisant par exemple une composante Monte Carlo (comme la PD sur le temps d’arrêt optimal à la Longstaff-Schwartz), l’utilisation en parallèle de grilles aléatoires de quantification en lieu et place de grilles optimisées. D’autres formulations de type dual des problèmes d’arrêt optimal encore peu explorées numériquement comme la formule de Rogers et Haugh (2001) qui expriment le processus des prix d’options (l’enveloppe de Snell) comme un infimum sont des points de départ naturels et prometteurs pour de nouveaux algorithmes.

- Quantized Grid computing de l’aval (options américaines) vers l’amont (quantification optimale) : Ce thème relève plus spécifiquement de l’optimisation stochastique et porte spécifiquement sur la quantification optimale. En amont de ces problématiques, une façon de lutter contre les effets de l’augmentation de la dimension sur la taille et le design de grilles est de construire des grilles optimalement adaptées à la dynamique et/ou à la géométrie du problème posé. C’est l’objet des grilles de quantification optimale qui apparaissent comme solution d’un problème d’optimisation stochastique et s’obtiennent sur un plan pratique via une simulation Monte Carlo… non linéaire (Robbins-Monro). Diverses stratégies de parallélisation fondées sur des cloisonnements de l’espace induisant un découplage des trajectoires apparaissent clairement mais ont été à ce jour peu explorées à des fins numériques. L’accélération drastique de cette procédure permettant un basculement on-line de cette optimisation ouvrant la voie à de nouveaux champs d’application au-delà de ceux déjà explorés (pricing américain, filtrage non linéaire, etc) notamment vers des problèmes de contrôle.

- Grid computing et problèmes de contrôle stochastique : Il s’agit ici d’étendre à ce cadre plus général les conclusions tirées des réflexions et des expérimentations menées dans les deux premiers items. Une approche naturelle pour la résolution numérique de problèmes de contrôle stochastique est d'établir une équation de la programmation dynamique et de chercher à en obtenir une approximation numérique. On se trouve malheureusement rapidement bloqué par un problème de dimension qui intervient à la fois dans la quantité de données à stocker et dans les temps de calculs. De nombreux travaux sont effectués pour tenter de trouver d'autres approches numériques effectives. Des techniques de décomposition peuvent être utilisées sur l'équation de programmation dynamique (par exemple sur l'algorithme de Howard dans les problèmes en horizon infini) et implémentés sur des architectures parallèles. D'autres approches peuvent être expérimentées par exemple les approches par arbre de scénarios qui visent à remplacer un problème d'optimisation stochastique par un problème d'optimisation déterministe sur un arbre ou sur une forêt. Cela conduit à des programmations dynamiques sur un arbre ou à des méthodes de type principe du minimum. La contrainte de la dimension reste présente (taille des arbres) et des parallélisations assez naturelles peuvent être utilisées (ces techniques sont voisines de méthodes de Monte Carlo). Enfin l'utilisation directe de méthodes de décomposition-coordination sur des problèmes stochastiques reste un problème non résolu en toute généralité.


Le candidat doit avoir de solides connaissances en probabilités appliquées (optimisation stochastique, simulation, etc) et en calcul stochastique. Des compétences en mathématiques financières sont fortement souhaitées ainsi qu’une compétence affirmée dans les aspects informatiques. Un intérêt pour la problématique « parallélisation » est bienvenu.

Ce poste est ouvert à toute personne ayant obtenu récemment un doctorat de Probabilités Appliquées et/ou de Mathématiques Financières.